[灌水] 我所知道的“最小值”

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吴全真

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全真教主

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发表于 2008-1-6 14:57:57 |只看该作者 |倒序浏览

1.最小值的概念
对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x。∈I，使得对于任一x∈I 都有f(x)≥f(x。)，则称f(x。)是函数f(x)在区间I上的最小值。

2.有界性与最大值最小值定理
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

3.介值定理
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ<b)。

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。也就是说，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，m和M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值。则对介于m与M之间的任一实数c（m<c<M），至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=c。

4. 最小值的求法
假定函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点①。在上述条件下，我们来讨论f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。
首先，由闭区间上连续函数的性质，可知f(x)在[a,b]上的最大值和最小值一定存在。
其次，如果最大值（或最小值）f(x。)在开区间(a,b)内的点x。处取得，那么，按f(x)在开区间内除有限个点外可导且至多有有限个驻点的假定，可知f(x。)一定也是f(x)的极大值（或极小值）②，从而x。一定是f(x)的驻点或不可导点。又f(x)的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得。因此，可用如下方法求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值。
⑴求出f(x)在(a,b)内的驻点x1，x2,…,xm及不可导点x1’,x2’,…,xn’;
⑵计算f(xi)（i=1,2,…，m），f(xj’)(j=1,2,…,n)及f(a),f(b);
⑶比较⑵中诸值的大小，其中最大的便是f(x)在[a,b]上的最大值，最小的便是f(x)在[a,b]上的最小值。

①驻点：使f’(x)=0的点称为函数的驻点。
②极大值、极小值：如果函数f(x)在点x=x。的一个δ邻域(x。-δ,x。+δ)内有定义，对任意的x∈(x。-δ,x。)∪(x。，x。+δ)，总有f(x)< f(x。),则称f(x。)为函数f(x)的极大值，x。称为f(x)的极大值点；如果x∈(x。-δ,x。)∪(x。，x。+δ)，总有f(x)> f(x。),则称f(x。)为函数f(x)的极小值，x。称为f(x)的极小值点

5.注意下面是两点特殊情况。
⑴如果函数f(x)在[a,b]上单调增加，则f(a)是f(x)在[a,b]上的最小值，f(b)是f(x)在[a,b]上的最大值。如果函数f(x)在[a,b]上单调减少，则f(a)是f(x)在[a,b]上的最大值，f(b)是f(x)在[a,b]上的最小值。
⑵如果连续函数在区间(a,b)内有且仅有一个极大值，而没有极小值，则此极大值就是函数在区间[a,b]上的最大值。同样，如果连续函数在区间(a,b)内有且仅有一个极小值，而没有极大值，则此极小值就是函数在区间[a,b]上的最小值。

PS1：本帖纯属灌水。如有雷同，纯属巧合。
PS2：谨以此文表达我对小值姐的敬意。向最小值学习！